2. 给出定理 2.4 的另一个证明.

 

 

证明: 设 $A=(a_{ij})$, $B=(b_{ij})$ 半正定 (正定), 要证 $A$ 和 $B$ 的 Hadamard 积 $$\bex A\circ B=(a_{ij}b_{ij}) \eex$$ 也半正定 (正定). 只证半正定的情形. 证明如下: 首先, $A\circ B$ 对称. 其次, 可设 $B=C^TC$, 而 $$\bex b_{ij}=\sum_k c_{ki}c_{kj},\quad a_{ij}b_{ij}=\sum_k c_{ki}a_{ij}c_{kj}. \eex$$ 对 $\forall\ x=(x_1,\cdots,x_n)^T$, 有 $$\beex \bea \sum_{ij}a_{ij}b_{ij}x_ix_j &=\sum_{ijk}c_{ki}x_ia_{ij}c_{kj}x_j\\ &=\sum_k\sum_{ij}a_{ij}y^{(k)}_iy^{(k)}_j\quad\sex{y^{(k)}_i=c_{ki}x_i}\\ &\geq 0. \eea \eeex$$